Setul IV

Setul de probleme pentru pregătirea de olimpiadă îl găsiți aici.
Succes!

Setul III

1. Determină numerele raţionale nenule a₁, a₂ , a₃ , ........, a₂₀₁₀ , ştiind că  1x2a₁ = 2x3a₂ = 3x4a₃ = ... = 2010x2011a₂₀₁₀ şi  a₁+ a₂ + a₃ + .......+ a₂₀₁₀= 2010/2011
2. Rezolvă ecuaţia x/3+3/y=2010, x,y - numere întregi nenule.
3. Determină numărul natural din trei cifre abc astfel încît radical (abc) = (a+b) x radical (c) = c x radical(a+b).
4. Rezolvă ecuaţia : x²+2y(2x+1)+5y²=0 , unde x,y -numere întregi.

Setul II

1. Cîte cifre are numărul A = 2 ²ⁿ⁺¹∙ 5 ²ⁿ⁺³ – 1 ( n - număr natural). Este prim sau compus numărul A? Justificați.
2. Demonstrați că 1/k² < 4 /(4k²-1) ( k - un număr natural nenul). Utilizînd rezultatul obținut arătați că 1/2² +1 / 3² + 1/ 4² + …..+ 1/ 10² < 0,75
3. Calculați valoarea expresiei 1/ ( 1+2)  + 1 / ( 1+2+3) + 1/ (1+2+3+4) + ....+ 1/(1+2+3+...+2005) + 1/2006 .
4. Suma unghiurilor unui triunghi sînt numere întregi ( toate diferite). Fiecare mărime mai mică divide următoarea mărime mai mare. Cea mai mică mărime este din două cifre. Care sînt măsurile unghiurilor triunghiului? ( suma unghiurilor într-un triunghi este de 180 grade)
Succes !

Setul I

1. Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate în felul următor: cele negre – în culoare verde, cele verzi – în culoare albă, iar cele albe – în negru. Precizează, care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah „opusă” celei iniţiale (negru-alb)?
2. Află toate numerele naturale de 4 cifre , scrise în baza 10, care verifica relația radical din numărul de forma abcd este egal cu  numărul de forma ab plus radical din numărul de forma cd.
3. În triunghiul ABC avem: masura unghiului B =105º, masura unghiului C = 30º, DЄ(BC), EЄ(BC) astfel încît [DB]≡[DC] şi  unghiul BAE este congruent cu unghiul CAE.  Află măsura unghiului  DAE.
4. Fie x,y,z  numere reale. Arată că:
                           a) x²+y²+z² ≥ xy+xz+yz;  b) dacă x+y+z = 1, atunci x²+y²+z² ≥ 1/3.